Mnogi studenti koji studiraju višu matematiku u starijim godinama vjerovatno su se pitali: gdje se u praksi primjenjuju diferencijalne jednadžbe (DE)? O ovom pitanju se u pravilu ne govori na predavanjima, a nastavnici odmah prelaze na rješavanje DE bez objašnjavanja studentima primjene diferencijalnih jednadžbi u stvarnom životu. Pokušat ćemo popuniti tu prazninu.
Počnimo s definiranjem diferencijalne jednadžbe. Dakle, diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje vrijednost izvedenice funkcije sa samom funkcijom, vrijednostima nezavisne varijable i nekim brojevima (parametrima).
Najčešće područje u kojem se primjenjuju diferencijalne jednadžbe je matematički opis prirodnih pojava. Također se koriste u rješavanju problema gdje je nemoguće uspostaviti izravan odnos između nekih vrijednosti koje opisuju proces. Takvi se problemi javljaju u biologiji, fizici, ekonomiji.
U biologiji:
Prvi značajni matematički model koji opisuje biološke zajednice bio je model Lotka - Volterra. Opisuje populaciju dvije vrste koje međusobno djeluju. Prvi od njih, nazvani grabežljivci, u nedostatku drugog, izumire prema zakonu x ′ = –ax (a> 0), a drugi - plijen - u odsustvu grabežljivaca množi se neograničeno u skladu sa zakonom od Malthusa. Interakcija ove dvije vrste modelirana je na sljedeći način. Žrtve izumiru brzinom jednakom broju susreta grabežljivaca i plijena, što se u ovom modelu pretpostavlja proporcionalno veličini obje populacije, tj. Jednakom dxy (d> 0). Prema tome, y ′ = by - dxy. Predatori se razmnožavaju brzinom proporcionalnom broju pojedenih lovina: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sistem jednadžbi
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = prema - dxy, (2)
grabežljivac-plijen koji opisuje takvu populaciju naziva se sistem Lotka-Volterra (ili model).
U fizici:
Newtonov drugi zakon može se napisati u obliku diferencijalne jednadžbe
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), gdje je m masa tijela, x njegova koordinata, F (x, t) sila koja djeluje na tijelo s koordinatom x u trenutku t. Njegovo rješenje je putanja tijela pod djelovanjem određene sile.
U ekonomiji:
Model prirodnog rasta proizvodnje
Pretpostavit ćemo da se neki proizvodi prodaju po fiksnoj cijeni P. Neka Q (t) označava količinu proizvoda prodanih u vrijeme t; tada je u ovom trenutku prihod jednak PQ (t). Neka dio navedenog dohotka potroši na ulaganja u proizvodnju prodanih proizvoda, tj.
I (t) = mPQ (t), (1)
gdje je m stopa ulaganja - konstantan broj i 0
